Real Numbers Exercise 1.1 class 10 Solution.

Introduction:

        यह अध्याय कक्षा 10 गणित का एक महत्वपूर्ण भाग है, जिसमें Real Numbers से जुड़े विभिन्न सिद्धांतों को समझाया गया है। इस पोस्ट में दिए गए प्रश्नों को सरल और आसान भाषा में step-by-step हल किया गया है, ताकि विद्यार्थियों को प्रत्येक प्रश्न का हल अच्छे से समझ में आ सके। यह समाधान परीक्षा की तैयारी के लिए भी बहुत उपयोगी है।

EXERCISE 1.1

1. Express each number as a product of its prime factors:

(i) 140

Solution:

        Step 1: 140 Divide by 2
            140 = 2 × 70
        Step 2: 70 Divide by 2
            70 = 2 × 35
        Step 3: 35 Divide by 5 
            35 = 5 × 7
        Answer:
            140 = 2² × 5 × 7

(ii) 156

Solution:

        Step 1: 156 Divide by 2
            156 = 2 × 78
        Step 2: 78 Divide by 2
            78 = 2 × 39
        Step 3: 39 Divide by 3 
            39 = 3 × 13
        Answer:
            156 = 2² × 3 × 13

(iii) 3825

Solution:

        Step 1: 3825 Divide by 2
            3825 = 3 × 1275
        Step 2: 1275 Divide by 3
            1275 = 3 × 425
        Step 3: 425 Divide by 5 
            425 = 5 × 85
        Step 4: 85 Divide by 5 
            85 = 5 × 17
        Answer:
            3825 = 3² × 5² × 17

(iv) 5005

Solution:

        Step 1: 5005 Divide by 5
            5005 = 5 × 1001
        Step 2: 1001 Divide by 7
            1001 = 7 × 143
        Step 3: 143 Divide by 11
            143 = 11 × 13
        Answer:
            5005 = 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

Solution:

        Step 1: 7429 Divide by 17
            7429 = 17 × 437
        Step 2: 437 Divide by 19
            437 = 19 × 23
        Answer:
            7429 = 17 × 19 × 23

2. Find LCM and HCF of the following pairs of integers and verify that LCM × HCF = Product of the two numbers

(i) 26 and 91

Solution:

        Step 1: Find the prime factor of given numbers.

            26 = 2 × 13
            91 = 7 × 13

        Step 2: Find HCF
            HCF = 13

        Step 3: Find LCM
            LCM = 182

        Step 4: Verification.
            LCM × HCF = Product of the two numbers
             182 × 13     =   26 × 91 
                       2366 = 2366

(ii) 510 and 92

Solution:

        Step 1: Find the prime factor of given numbers.

            510 = 2 × 3 × 5 × 17
            92 = 2 × 2 × 23

        Step 2: Find HCF
            HCF = 2

        Step 3: Find LCM
            LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23
            LCM = 23460

        Step 4: Verification.
            LCM × HCF = Product of two numbers
          23460 × 2      = 510 × 92
                   46920   =  46920

(iii) 336 and 54

Solution:

        Step 1: Find the prime factor of given numbers.
            336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

            54 = 2 × 3 × 3
        Step 2: Find HCF

            HCF = 6

        Step 3: Find LCM

            LCM = 2 × 3 × 2 × 2 × 3 × 7
            LCM = 3024

        Step 4: Verification.
            LCM × HCF = Product of two numbers

            3024 ×  6     = 336 × 54
                   18144   = 18144

3. Find LCM and HCF of the following integers by applying the prime factorisation method.

(i) 12, 15, 21

Solution:

            Step 1: Prime Factorization
                12 = 2² × 3
                15 = 3 × 5
                21 = 3 × 7
            Step 2: HCF (Common smallest powers)

                Common factor = 3
                HCF = 3

            Step 3: LCM (All highest powers)
                LCM = 2² × 3 × 5 × 7
                LCM = 420

(ii) 17, 23, 29

Solution:

            By observation,
            All numbers are prime numbers.
            No common factor except 1
                HCF = 1
            LCM
            Product of all numbers
                LCM = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9, 25

Solution:

            Step 1: Prime Factorization
                8 = 2³
                9 = 3²
                25 = 5²
            Step 2: HCF
                No common factor
                HCF = 1
            Step 3: LCM
                LCM = 2³ × 3² × 5²
                LCM = 1800

4. Given that HCF (306,657) = 9, find LCM (306,657)

Solution:

LCM × HCF = Product of two numbers

LCM × 9       = 306 × 657

         LCM     = 201042 / 9

         LCM     = 22338

Important Note:

• HCF और LCM गणित के महत्वपूर्ण भाग हैं, जिनका उपयोग कई प्रश्नों में किया जाता है।

5. Check whether 6ⁿ can end with the digit 0 for any natural number n.

Solution:

A number ends with 0 only if it has factor 10 = 2 × 5.
6 = 2 × 3
There is no factor 5.
Therefore 6ⁿ can never end with digit 0.

6. Explain why 7 × 11 × 13 + 13 and 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 are composite numbers.

Solution:

(i) 7 × 11 × 13 + 13
    = 13(7 × 11 + 1)
    = 13 × 78
    = 1014
Since it has factors 13 and 78, it is composite.
(ii) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
    = 5040 + 5
    = 5045
5045 = 5 × 1009
So it is composite.

7. There is a circular path around a sports field. Sonia takes 18 minutes to drive one round of the field. while Ravi takes 12 minutes for the same. Suppose they both start at the same point and at the same time, and go in the same direction. After how many minutes will they meet again at he starting point?

Solution:

Time taken:
Sonia = 18 min
Ravi = 12 min
They will meet again after LCM of 18 and 12
18 = 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
LCM = 2 × 3 × 2 × 3
LCM = 36 minutes
Therefore, They meet again after 36 minutes.

Conclusion:

        इस पोस्ट में हमने Real Numbers अध्याय के प्रश्नों को विस्तार से समझा और उनके समाधान सीखे। यदि आप इन प्रश्नों का नियमित अभ्यास करते हैं, तो आपकी गणित की समझ और अधिक मजबूत हो जाएगी। आशा है कि यह समाधान आपकी पढ़ाई में सहायक सिद्ध होगा।

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