Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10 Notes
Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10 Notes
Introduction
हम अपने रोज़मर्रा के जीवन में कई ऐसी परिस्थितियों का सामना करते हैं, जहाँ हमें दो अलग-अलग चीजों के बीच संबंध समझना होता है। जैसे मान लीजिए, अखिला एक मेले में गई और उसने Giant Wheel की सवारी की तथा Hoopla नाम का खेल खेला। उसे यह भी पता है कि उसने जितनी बार Hoopla खेला, वह Giant Wheel की सवारी की संख्या का आधा है। यदि प्रत्येक सवारी (ride) का खर्च Rs. 3 है और Hoopla के एक खेल का खर्च Rs. 4 है, तो आप यह कैसे ज्ञात करेंगे कि उसने कितनी सवारियाँ कीं और कितनी बार Hoopla खेला, जबकि उसका कुल खर्च Rs. 20 है?
ऐसी परिस्थितियों को हम गणित की मदद से आसानी से समझ सकते हैं। यदि हम Giant Wheel की सवारी की संख्या को x और Hoopla खेलने की संख्या को y मान लें, तो हम इस स्थिति को निम्नलिखित समीकरणों के रूप में लिख सकते हैं:
पहला समीकरण यह दर्शाता है कि Hoopla खेलने की संख्या, सवारी की संख्या का आधा है, जबकि दूसरा समीकरण कुल खर्च को दर्शाता है।
इसी प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए हम “Pair of Linear Equations in Two Variables” का अध्ययन करते हैं। इस अध्याय में हम सीखेंगे कि दो variables वाले linear equations को कैसे बनाते हैं और उन्हें अलग-अलग methods (Substitution, Elimination, Graphical Method) से कैसे solve करते हैं।
यह अध्याय न केवल परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में भी बहुत उपयोगी है।
Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations.
दो linear equations को graph पर straight lines के रूप में दर्शाया जाता है। इन lines के आपसी व्यवहार से हमें solutions के बारे में जानकारी मिलती है।
Types of Solutions:
1) Intersecting Lines
- Lines एक point पर मिलती हैं
- एक ही solution होता है (Unique Solution)
- इसे Consistent Pair कहते हैं
2) Parallel Lines
- Lines कभी नहीं मिलती
- कोई solution नहीं होता (No Solution)
- इसे Inconsistent Pair कहते हैं
3) Coincident Lines
- Lines पूरी तरह एक-दूसरे पर होती हैं
- अनंत solutions होते हैं (Infinite Solutions)
- इसे Dependent Pair (Consistent) कहते हैं
- Intersect → 1 solution
- Parallel → No solution
- Coincident → Infinite solutions
Graphical method में lines का nature देखकर ही solution का type पता चल जाता है।
Conditions for Pair of Linear Equations (Graphical Method)
दो linear equations का सामान्य रूप होता है:
a2x + b2y + c2 = 0
अब इन equations की स्थिति (nature of lines) निम्न प्रकार से निर्धारित की जाती है:
1) Intersecting Lines (एक बिंदु पर मिलती हैं)
a1 / a2 = b1 / b2
➡️ एक ही solution होता है (Unique Solution)
2) Coincident Lines (एक ही रेखा)
a1 / a2 = b1 / b2
= c1 / c2
➡️ अनंत solutions होते हैं (Infinite Solutions)
3) Parallel Lines (समानांतर रेखाएँ)
a1 / a2 = b1 / b2
≠ c1
/ c2
➡️ कोई solution नहीं होता (No Solution)
Trick (याद रखने के लिए):
- ≠ → Intersect
- = = = → Coincident
- = ≠ → Parallel
Algebraic Methods of Solving a Pair of Linear Equations.
Introduction:
दो variables वाली linear equations को हल करने के लिए केवल graphical method ही नहीं, बल्कि algebraic methods भी उपयोग किए जाते हैं। ये methods अधिक सटीक और तेज होते हैं, खासकर जब solutions fraction या बड़े numbers में हों।
Types of Algebraic Methods
1) Substitution Method
इस method में हम एक equation से किसी एक variable (x या y) की value निकालकर दूसरी equation में substitute करते हैं।
Steps:
- किसी एक equation से x या y की value निकालो
- दूसरी equation में उसे replace करो
- एक variable की value निकालो
- वापस substitute करके दूसरी value निकालो
Example:
x + y = 10
y = x + 4
Substitute करने पर:
x + (x + 4) = 10
2x + 4 = 10
x = 3, y = 7
Also visit: Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10 Exercise 3.2 Solution.
2) Elimination Method
इस method में हम एक variable को eliminate (हटाकर) equation को solve करते हैं।
Steps:
- दोनों equations को इस तरह बनाओ कि एक variable cancel हो जाए
- जोड़ या घटाव करके एक variable हटाओ
- दूसरे variable की value निकालो
- वापस substitute करके दूसरा variable निकालो
Example:
x + y = 10
x - y = 2
Add करने पर:
2x = 12
x = 6, y = 4
Also visit: Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10 Exercise 3.3 Solution.
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